Масштаб меркаторской карты

Графическое изображение одной минуты дуги меридиана (морской мили) в данной широте на карте меркаторской проекции называется меркаторской милей.

Если на карте указанной проекции провести две параллели через одну минуту широты, то разность меридиональных частей этих параллелей будет представлять собой меркаторскую милю в экваториальных минутах. Она может выражаться и в миллиметрах.

Особенностью меркаторской проекции является то, что масштаб карты, сохраняя свое постоянство по всем направлениям, изменяется с широтой. Следовательно, и линейные размеры меркаторской мили также будут зависеть от широты. По этой причине, графическое изображение меркаторских миль дается в виде линейного масштаба, нанесенного на боковых рамках карты. Используя указанный масштаб, необходимо помнить, что все измерения проводятся в той его части, в широте которой совершает плавание судно.

Рис. 31. Масштаб и единица меркаторской карты

При расчетах и построении карт в меркаторской проекции применяется постоянная величина, получившая название единицы карты (ё). Она представляет собой графическое изображение длины экваториальной минуты земного сфероида на карте проекции Меркатора.

Для вывода выражения единицы карты, принимая Землю за шар радиусом R, берут два меридиана с разностью долгот 1' и две параллели для φ₁ и φ₂ (рис. 31). Длина полученных отрезков дуг будет определяться равенствами:

где r₁ = Rcosφ и r₂ =Rcosφ₂ — радиусы соответствующих параллелей.

Дуга АВ, представляющая собой длину экваториальной минуты, может быть изображена на карте только в уменьшенном виде.

Используя проекцию Меркатора, избранный участок земной поверхности переносят на плоскость в масштабе по экватору \/С_э, где С_э — знаменатель числового масштаба.

На проекции отрезок ab будет представлять собой графическое изображение единицы карты, а ее величина будет выражена

е = аЬ = АВ/С_э = R arc1'/С_э.

При различной длине отрезков параллелей А'В' и А"В" на земном шаре на проекции получим е = ab = а'b' = а"b".

Такое равенство свидетельствует о том, что для каждой параллели использован свой масштаб уменьшения. Следовательно,

e = R arc 1'/C_э = Rcos φ₁ arc1'/C₁ = R cos φ₂ arc 1'/C₂, (60)

где С₁ и С₂ знаменатели числовых масштабов для параллелей в широте φ₁ и φ₂. Из равенства (60) можно вывести следующие зависимости:

С_Э = С₁ sec φ₁; С_Э = С₂ sec φ₂,

т.е. знаменатель числового масштаба на экваторе в sec φ раз больше знаменателя числового масштаба на параллели в широте φ данной карты, а также

 С₁ = С_Э cos φ₁;

С₂ = С_Э cos φ₂;

C₁IC₂ = cos φ₁/cos φ₂.

Знаменатели числовых масштабов относятся друг к другу, как косинусы широт соответствующих параллелей.

Для построения карты в меркаторской проекции задаются границы будущей карты в виде крайних параллелей (φ_N, φ_s) и меридианов-(λ_е, λw), масштаб по главной параллели (1/С₀) и ее широта (φ₀).

Так как в картографии Земля принимается за эллипсоид вращения, то в формулу единицы карты вместо R подставляется значение большой полуоси а или же радиуса главной параллели, учитывающей в-своем выражении сжатие Земли. Обычно е выбирают из картографических таблиц по аргументам 1/С₀ и φ₀.

Длину горизонтальных рамок карты рассчитывают по формуле

a = е(λ_Е — λ_w)',

где (λ_Е — λ_w)' — разность долгот восточной и западной рамок; е — единица карты, мм.

Размеры боковых рамок определяются из выражения

b = e(D_H — D_s),

где (D_N — D_S) — разность меридиональных частей для широт северной и южной рамок.

Положение промежуточных меридианов и параллелей рассчитывается, как их удаление от соответствующих рамок карты, с использованием аналогичных формул. Такие же расчеты выполняются при нанесении на карту основных опорных пунктов. Все остальные картографические материалы наносятся с использованием географических координат.

Если построение меркаторской карты выполнить относительно какой-то главной параллели, то она на проекции будет изображаться без искажений. Параллели, находящиеся севернее главной, вытянутся до ее размеров, и масштаб их увеличится. Параллели, расположенные южнее главной, укоротятся до ее размеров, и масштаб их уменьшится.

Составление карт какого-либо моря в одном масштабе, отнесенном к единой главной параллели, позволяет склеивать их друг с другом, так как частные масштабы в одних и тех же широтах будут равны.