Аналитическое счисление

Учет перемещения судна можно осуществлять не только графическими построениями на карте, но и путем выполнения расчетов по формулам аналитическим методом.

Аналитическое, или письменное, счисление применяется: при океанских переходах, когда отсутствуют крупномасштабные карты; при решении астрономических задач по определению места судна по Солнцу; во всех случаях, когда по какой-либо причине ведение графического счисления затруднено. Формулы аналитического счисления нашли широкое применение и во многих других вопросах навигации.

Сущность способа заключается в определении конечных координат судна по известным начальным координатам и их приращениям, рассчитанным по формулам

φ₂ - φ₁ = РШ

λ₂ - λ₁ = РД.

Выведем зависимость РШ и РД от истинного курса судна и плавания по нему.

Предположим, судно совершило переход из пункта отхода A (φ₁, λ₁) в пункт прихода В(φ₂, λ₂) постоянным курсом К, пройдя расстояние S (рис. 57).

Разделим расстояние между пунктами A и B на большое число равных элементарных отрезков ΔS. Через полученные точки проведем меридианы и отрезки параллелей. В результате построения получим равные элементарные прямоугольные треугольники, которые по малости их можем рассматривать как плоские. Для удобства вывода формул Землю примем за шар.

Рис. 57. К выводу формул аналитического счисления

 Рассмотрим элементарный прямоугольный треугольник Abc. Гипотенуза тругольника Аb представляет собой отрезок локсодромии ΔS. Катет Aс является отрезком меридиана и представляет собой элементарную разность широт Δφ. Катет cb представляет собой элементарное расстояние по параллели между меридианами точек А и b, называемое элементарным отшест-вием Aw.

На основании формул плоской тригонометрии из треугольника Abc можно выразить катет Ас: Δф = ΔS cos К.

Перейдя к бесконечно малым величинам, напишем дифференциальное уравнение

dφ = dS cos К.

Проинтегрируем данное уравнение с учетом того, что К — величина постоянная

или в окончательном виде

РШ=S cos K. (79)

В этой формуле РШ получается в морских милях, но так как 1 морская миля равна 1' дуги меридиана, то, следовательно, и РШ можно считать выраженной в угловых минутах.

Катет be из треугольника Abe выразим:

Δw= ΔS sin К.

Перейдем к бесконечно малым величинам и проинтегрируем полученное дифференциальное уравнение

dw=dS sin К.

w=SsinK или ОТШ=SsinK. (80)

Для расчета долготы точки прихода нам необходимо получить значение РД. Из элементарного треугольника Abe можем написать

Δwi/ Δφ = tg К.

Выразим длину элементарного отшествия через элементарный отрезок дуги экватора Δλ: Δw = Δλcosφ и подставим его в приведенное выше выражение

Δλ cosφ/Δφ = tg к.

отсюда

Δλ= tg KΔφ/cosφ.

Перейдем к бесконечно малым величинам и проинтегрируем полученное дифференциальное уравнение

Это выражение нам ужезнакомо (см. § 17), следовательно,

λ₂ — λ₁ = (D₂-D₁)tgK

или

 PД = РМЧ tgK. (81)

Формула (81) широко используется в навигации. Однако для расчета долготы конечной точки необходима формула, связывающая отшествие с разностью долгот.

Напишем ряд равенств, выражающих длины элементарных отрезков дуг экватора через элементарные отшествия:

Δλ₁ = Δw sec (φ₁ + Δφ);

Δλ₂ = Δw sec (φ₁ + 2Δφ);

Δλ₃ = Δw sec (φ₁ + 3Δφ);

Δλ_m = Δw sec (φ₁ + mΔφ) = Δw sec φ₂.

Просуммировав обе части равенств, получим

Правую часть равенстваумножим и разделим на т

Произведение тΔw = ОТШ, т.е. представляет собой отшествие, а выражение — средний арифметический секанс, который соответствует вполне определенной широте, называемой промежуточной широтой φ_п. После подстановки получим

РД=ОТШsecφ_i. (82)

Формула (82) точная, но не удобна для применения, так как необходимо знать φ_п.

После деления формулы (80) на формулу (79) получим

tgK=OTШ/PШ.

Полученное выражение tgK подставим в формулу (81). В результате будем иметь

РД = ОТШ х РМЧ/РШ. (83)

Эта формула так же относится к числу точных формул. Сравнивая выражения РД (82) и (83), можно сделать вывод

sec φ_п = РМЧ/РШ или

φ_п=аrc sec РМЧ/РШ. (84)

Следовательно, ОТШ представляет собой расстояние между меридианами начальной и конечной точек в милях по промежуточной параллели, широта которой определяется выражением (84).

При плавании на короткие расстояние можно считать, что в интервале широт от φ₁ до φ₂ sec изменяется линейно и, следовательно,

φ_п≈(φ₁ + φ₂)/2 = φ_m

Тогда формула (82) примет вид

РД =OTШ sec φ_m. (85)

Формула является приближенной.

По формулам (79) и (80) составлена таблица 24 «Разность широт и отшествие» в МТ — 75. Аргументами для входа в таблицу служат ИК и плавание S, выбираются — РШ и ОТШ.

Таблица 25а МТ — 75 составлена по формуле (85) и служит для выбора разности долгот по отшествию и средней широте. Аналитическое счисление подразделяется на простое, составное и сложное

Если судно совершает плавание из одного пункта в другой одним курсом, то аналитическое счисление будет простым. В этом случае рассчитываются по формулам (79), (80) и (85) или выбираются из таблиц 24 и 25а РШ и РД. Координаты пункта прихода определяются: φ₂ = φ₁ + РШ; λ₂ = λ₁ + РД.

Если при переходе из одного пункта в другой судно совершает плавание несколькими курсами и при этом координаты конечного пункта рассчитываются через генеральную разность широт и генеральное отшествие, то аналитическое счисление называется составным.

Последовательность действий в этом случае такова: рассчитав по формулам или выбрав из таблиц для каждого курса РШ и ОТШ со своими знаками, находят их алгебраические суммы, которые называются генеральной разностью широт (Ген РШ) и генеральным отшествием (Ген ОТШ) (рис. 58). При этом необходимо иметь в виду, что знак отшествия определяется следующим образом: если составляющая движения судна по параллели направлена к востоку, то знак отшествия «+», и наоборот « — ».

Расчеты ведутся по формулам

φm = (φi+φ_a)/2; РД = Ген ОТШ sec φ_m;

λ₂ = λ₁ + РД

Если при плавании учитывается дрейф судна от ветра, то в формулы (79) и (80) вместо ИК надо подставлять ПУ_α. Это же касается и использования таблицы 24 МТ — 75.

Если же в районе плавания действует постоянное течение, то его учитывают как еще один дополнительный курс. При этом за курс принимается направление течения, а за плавание — снос течением S_T за время его действия t, т.е.

S_T = v_T t.

Формулы аналитического счисления позволяют не только находить координаты конечного пункта, но и решать различные другие задачи.

Так, зная координаты начального и конечного пунктов, можно вычислить расстояние между ними и курс для перехода в конечный пункт. Формулы легко можно вывести из треугольника ABC (рис. 59)

 

При плавании в высоких широтах для получения более точных результатов используют сложное аналитическое счисление.

В отличие от составного счисления, при сложном счислении не используют Ген ОТШ. В этом случае определяют генеральную разность долгот (Ген РД) как алгебраическую сумму РД на каждом курсе, т.е.